Heads-up: this is an incomplete, partial answer — please accept a more detailed one.
It’s about omitting postpositions.
- All of the sentences sound good and natural to me.
- Grammatically, both are identical. Not this one, but there are some cases where fuller forms are not idiomatic and sounds more awkward. E.g. “너 심부름 가니?” sounds much better than “너 심부름을 가니?”. The exact reasons and rules ⸺ I don’t know.
- Although those without postpositions are more common and seemingly preferred by native speakers, it is not that you can drop any postpositions and make sense. From a related paper:
‘너 심부름 가니?/저 개 아주 사납다/OOO의 소설 재미있더라.’와 같이, 대명사나 그 지시 대상이 특정적인, 한정적 표현의 명사가 주어 자리에 올 때 주어가 주격 조사 없이 쓰일 수 있다.
하지만 ‘개 아주 사납구나./소설 재미있더라.’와 같이, 주어 자리에 오는 명사가 비한정적일 때에 주격 조사가 쓰이지 않으면 비문(非文)이 된다.
또한 ‘그 여자 무얼 주려고 하는데.’와 같이 주격 조사가 없이 쓰인 체언이 주어 이외의 것(‘그 여자가’ 혹은 ‘그 여자한테’)으로 혼동될 우려가 있을 때는 주어 자리에 오는 체언이 비록 한정적이라도 주격 조사가 쓰여야 한다.
⸻ Gisim Nam, “현대 국어 통사론” (“The syntax of modern Korean”), published by 태학사, 2001.