No official rules and standard terms describe such mixing, but I would like to say that it is okay only when the listener thinks it is.
인칭 범주에 기반한 한국어 경어법 교육 연구 says the following:
... 청자가 상위자인 경우를 예로 들어 보기로 한다.
가. *내가 할게.
나. *제가 할게.
다. *내가 할게요.
라. 제가 할게요.
... 청자가 상위자인 경우 (가, 나)처럼 화계가 해요체나 하십시오체가 아니면 비문이 되고, (다)처럼 청자 높임의 해요체가 사용되었어도 청자가 상위자이고 화자가 스스로 겸손의 의미를 나타내고자 할 때 ‘저’를 사용하지 않으면 비문이 된다. (다)의 경우는 동급 관계에서 상호 존중의 의미로 사용하거나 상하 위계 관계에서 상급자가 하급자를 예우해줄 때 가능하기는 하지만 화자의 겸손을 나타내지는 못한다. 그러나 (라)와 같이 ‘저’가 해요체나 하십시오체와 함께 사용되면 화자의 겸손 표현이 가능하다.
According to this passage, "나 ...요." could be acceptable in these cases:
동급 관계에서 상호 존중할 때 (when those at the same level respect each other)
위계 관계에서 상급자가 하급자를 예우해 줄 때 (when one treat her/his inferior with respect)
I have used could because it may start an argument or fight. Because of the pronoun, 나 (which does not show one's humility), the listener could think that the speaker is rude. One of Usin Jung's examples, "나는 가습기를 쓰는데요.", may sound rude, too. It depends on the listener's judgment.
When is it usually okay? In my opinion, that is when a person says something to her/his beloved, very close one. Nonetheless, some people including me just use complete 반말 and total 존댓말. As for couples, the Korean comments here and there show the reality: There is no consensus about that usage.
Usin Jung also mentioned "나나 잘할게요" and it reminds me of a catchphrase, "너나 잘하세요." A humble person would not make these sarcastic remarks.