'연세' means:
‘나이1(사람이나 동ㆍ식물 따위가 세상에 나서 살아온 햇수)’의 높임말.
연세가 많다. (Subject) is old. It is more honorific than '나이가 많다'.
할아버지께선 연세가 어떻게 되십니까? How old is your grandfather? It is impolite to use '할아버지 나이가 어떻게 되십니까?" and no Korean in their right mind would use '나이' in this sentence.
의사가 할머니의 연세가 높아서 쉽게 회복되기는 어렵다고 했습니다. The doctor said it would be difficult for my grandmother to recover easily due to her age. No Korean would use '나이' here.
'춘추' is more honorific than '연세':
어른의 나이를 높여 이르는 말.
나는 먼저 그녀의 아버님께 춘추가 어떻게 되시는지 여쭈어 보았다. First, I asked her father how old
he was.
According to the linked article about the usage of '연세' and '춘추' in 우리말 바로쓰기
'연세(年歲)'는 '나이’의 높임말이고, '춘추(春秋)'는 어른의 나이를 높여 이르는 말이므로, 나이를 묻는 대상이 어르신인
경우, '연세'나 '춘추'를 모두 쓸 수 있을 것입니다. 다만 '연세'와 '춘추'의 뜻풀이를 고려할 때, '연세'에 비해
'춘추'가 쓰이는 범위가 한정되는 것으로 보입니다.
Short summary:
'연세' is an honorific word for '나이 (age)' and '춘추' is an honorific word
for '어른의 나이 (age of an adult)'. You can use both of them when you ask
old people how old they are. However, considering the difference in their meaning, the usage of '춘추' is more limited than that of '연세'.
As @topomorto and I commented to the other answer,
- '춘추' is less broadly used than '연세' and it is more likely to be used in asking a question than in a declarative sentence such as
할아버님 춘추(연세)가 어떻게 되세요? 아버님 춘추(연세)가 어떻게 되세요?
In the sentence above, '춘추' sounds more honorific than '연세'.
- '춘추가 많으신' is used in a declarative sentence to modify old people such as '노인', '할아버지', '할머니'. Again, it is far less broadly used than '연세'.